Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.3.8. Trouver une fonction f continue sur [a , b] telle que
b
a
f (x) dα(x) = α(b) − α(a)
pour toute fonction α croissante sur [a , b].
I.3.9. Soit α une fonction à variation bornée sur [a , b] et {f n } une suite de
fonctions Riemann-Stieltjes-intégrables par rapport à α sur [a , b]. Montrer que
si {f n } converge uniformément sur [a , b] vers f , alors f est Riemann-Stieltjesintégrable et
b
a
f (x) dα(x) = lim
n→+∞
b
a
f n (x) dα(x).
I.3.10. Calculer
lim
n→+∞
1
0
nx
1 − x
2
n dx.
I.3.11. Soit α une fonction à variation bornée sur [0 , 1]. Déterminer
lim
n→+∞
1
0
x
n dα(x).
I.3.12. Soit {α n } une suite de fonctions dont les variations totales sont uniformément bornées sur [a , b], autrement dit, il existe M > 0 tel que V (α n ; a, b) M
pour tout n. Montrer que si {α n } converge simplement vers α sur [a , b], on a
alors, pour toute fonction f continue sur [a , b],
lim
n→+∞
b
a
f (x) dα n (x) =
b
a
f (x) dα(x).
I.3.13. Soit {α n } une suite de fonctions dont les variations totales sont uniformément bornées sur [a, b] et telle que {α n } converge simplement vers α sur [a, b].
Soit {f n } une suite de fonctions continues uniformément convergente vers f sur
[a, b]. Prouver que
lim
n→+∞
b
a
f n (x) dα n (x) =
b
a
f (x) dα(x).
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