Énoncés
I.3.4. Soit {x n } une suite de points distincts de ]0 , 1[ et {c n } une suite telle que
c n > 0 et
+∞
n=1
c n < +∞. On définit
α(x) =
+∞
n=1
c n ρ(x − x n ),
où la fonction ρ est donnée par
ρ(x) =
0 si x < 0,
1 si x 0.
Prouver que si f est continue sur [0 , 1], alors
1
0
f dα =
+∞
n=1
c n f (x n ).
I.3.5. Soit α une fonction continue à variation bornée sur [a , b] telle que
b
a
f (x) dα(x) = 0
pour toute fonction f continue sur [a , b]. Prouver que α est constante sur [a , b].
I.3.6. Soit α une fonction croissante sur [0 , π] telle que
π
0
sin x dα(x) = α(π) − α(0).
Prouver que
α(x) =
α(0) si x ∈
0 ,
π
2
,
α(π) si x ∈
π
2 , π
.
I.3.7. Trouver une fonction α croissante sur [0 , 1] telle que
1
0
f (x) dα(x) =
f (0) + f (1)
2
pour toute fonction f continue sur [0 , 1].
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