Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Théorème 1. Si les fonctions f et α sont à variation bornée sur [a , b] et si l’une
d’elles est continue, alors
b
a
f (x) dα(x) = f (b)α(b) − f (a)α(a) −
b
a
α(x) df (x).
La formule précédente est appelée la formule d’intégration par parties.
Théorème 2. On suppose que les fonctions f et ϕ sont continues sur [a , b] et
que ϕ est strictement croissante sur [a , b]. Si ψ est la fonction réciproque de
ϕ, alors
b
a
f (x) dx =
ϕ(b)
ϕ(a)
f (ψ(y)) dψ(y).
La formule du théorème 2 est appelée la formule de changement de variable.
Théorème 3. On suppose soit que f est continue et α est à variation bornée sur
[a , b], soit que f et α sont à variation bornée sur [a , b] et α est continue. On
a alors
b
a
f (x) dα(x)
b
a
|f (x)| dv α (x),
où v α (x) représente la variation de α sur [a , x], a x b.
I.3.1. Calculer
2
−1 x dα(x), où
α(x) =
⎧
⎨
⎩
0
si x = −1,
1
si −1 < x < 2,
−1 si 2 x 3.
I.3.2. Soit f une fonction à variation bornée sur [0 , 2π] telle que f (0) = f (2π).
Prouver que chacune des intégrales
2π
0
f (x) cos nx dx et
2π
0
f (x) sin nx dx
est inférieure en valeur absolue à
V (f ;0,2π)
n
.
I.3.3. Soit f et g des fonctions continues sur [a , b] et α une fonction à variation
bornée. On pose
β(x) =
x
a
f (x) dα(x), a x b.
Prouver que
b
a
g(x) dβ(x) =
b
a
g(x)f (x) dα(x).
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