Énoncés
I.2.26. Prouver que si f est continue et α est croissante sur [a , b], alors la
fonction
F (x) =
x
a
f (t) dα(t), x ∈ [a , b],
est à variation bornée sur [a , b].
I.2.27. Si f (x) = lim
n→+∞
f n (x) pour tout x ∈ [a , b], alors
V (f ; a, b) lim
n→+∞
V (f n ; a, b).
I.2.28. Soit
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
b n des séries absolument convergentes et {x n } n∈N ∗ une
suite de points distincts de ]0 , 1[. Démontrer que la fonction f définie par
f (0) = 0, f(x) =
xnx
a n +
xn b n pour tout x ∈ ]0 , 1]
est continue pour tout x = x n (n ∈ N ∗ ) et
f (x n ) − f (x
−
n ) = a n , f(x
+
n ) − f (x n ) = b n .
Montrer aussi que
V (f ; 0, 1) =
+∞
n=1
(|a n | + |b n |) .
I.3. D’autres propriétés de l’intégrale
de Riemann-Stieltjes
On considère dans cette section des intégrales de Riemann-Stieltjes par
rapport à des fonctions à variation bornée. Si α est une fonction à variation
bornée sur [a , b] et si α = p − q, où p et q sont des fonctions croissantes, alors
b
a
f (x) dα(x) =
b
a
f (x)dp(x) −
b
a
f (x)dq(x),
pour autant que f ∈ R(p) et f ∈ R(q) (voir la définition à la section I.1).
Cette définition est indépendante de la décomposition de la fonction α en la
différence de deux fonctions croissantes.
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