Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.2.19. Calculer les fonctions de variation positive et négative de
(a) f (x) = x 3 − |x|, x ∈ [−1 , 1],
(b) f (x) = cos x, x ∈ [0 , 2π],
(c) f (x) = x − [x], x ∈ [0 , 3].
I.2.20. Soit f une fonction à variation bornée sur [a , b]. Montrer que si f est
continue à droite (resp. gauche) en x 0 , alors v f est aussi continue à droite (resp.
gauche) en x 0 .
I.2.21. Prouver que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction f à
variation bornée sur [a, b] est au plus dénombrable. De plus, si {x n } est la suite
des points de discontinuité de f , alors la fonction g(x) = f (x) − s(x), où s(a) = 0
et
s(x) = f (a
+ ) − f (a) +
xn f (x
+
n ) − f (x
−
n )
+ f (x) − f (x
− )
pour a < x b, est continue sur [a , b]. (La fonction s est appelée la fonction de
saut de f .)
I.2.22. Soit f une fonction à variation bornée sur [a , b]. On pose
g(a) = 0 et g(x) =
1
x − a
x
a
f (t) dt pour tout x ∈ ]a , b].
Prouver que g est à variation bornée sur [a , b].
I.2.23. Montrer que si f vérifie une condition de Lipschitz sur [a , b], alors v f
vérifie aussi une condition de Lipschitz, avec la même constante de Lipschitz.
I.2.24. Démontrer que si f est à variation bornée sur [a , b] et vérifie la propriété
des valeurs intermédiaires, elle est alors continue. En déduire que si f est à
variation bornée sur [a , b], elle est alors continue sur [a , b].
I.2.25. Montrer que si f est continûment dérivable sur [a , b], alors
v f (x) =
x
a
f
(t)
dt.
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