Énoncés
I.2.15. On considère la somme
V (f, P ) =
n
i=1
|f (x i ) − f (x i−1 )|
pour une fonction f définie sur [a , b] et une partition P = {x 0 , x 1 , . . . , x n } de
[a , b]. Prouver que si f est continue sur [a , b], alors
lim
μ(P )→0
V (f, P ) = V (f ; a, b),
autrement dit, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que μ(P ) < δ implique
V (f ; a, b) − V (f, P ) < ε.
I.2.16. On considère la somme
W (f, P ) =
n
i=1
(M i − m i )
pour une fonction f définie sur [a , b] et une partition P = {x 0 , x 1 , . . . , x n } de
[a , b], où on pose
M i = sup
x∈[x i−1 ,x i ]
f (x), m i =
inf
x∈[x i−1 ,x i ]
f (x).
En utilisant le résultat du problème précédent, prouver que si f est continue sur
[a , b], alors
lim
μ(P )→0
W (f, P ) = V (f ; a, b).
I.2.17. Soit f une fonction à variation bornée sur [a , b], p et q respectivement
les fonctions de variation positive et négative comme définies au théorème 1.
Soit p 1 et q 1 des fonctions croissantes sur [a, b] telles que f = p 1 − q 1 . Prouver que
si a x y b, alors
p(x) − p(y) p 1 (x) − p 1 (y) et q(x) − q(y) q 1 (x) − q 1 (y).
En conclure que V (p; a, b) V (p 1 ; a, b) et V (q; a, b) V (q 1 ; a, b).
I.2.18. Soit f une fonction à variation bornée sur [a, b] telle que f (x) m > 0
pour tout x ∈ [a , b]. Prouver qu’il existe deux fonctions croissantes g et h telles
que
f (x) =
g(x)
h(x)
pour x ∈ [a, b].
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