Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.2.10. Prouver que si f est à variation bornée sur [a , b], il en est de même
de |f |
p , 1 p < +∞.
I.2.11. Prouver que si f est continue sur [a , b] et si |f | est à variation bornée
sur [a , b] alors f l’est aussi. Justifier aussi que la continuité est une hypothèse
essentielle.
I.2.12. Si f et g sont à variation bornée sur [a , b], il en est alors de même de
h(x) = max {f (x), g(x)}.
I.2.13. On dit que f : A −→ R, A ⊂ R, vérifie une condition de Hölder (aussi
appelée condition de Lipschitz d’ordre α) sur A s’il existe des constantes strictement positives M et α telles que
f (x) − f (x
)
M
x − x
α pour x, x
∈ A.
(a) Prouver que la fonction
f (x) =
1
ln(1/x)
si x ∈
0 ,
1
2
,
0
si x = 0
est à variation bornée sur [0 ,
1
2 ] mais ne vérifie pas de condition de Hölder.
(b) On pose x n =
+∞
k=n
1
k ln
2 k
, n = 2, 3, . . . Soit f la fonction continue sur [0 , x 2 ]
définie par
f (0) = f (x n ) = 0, f
x n + x n+1
2
=
1
n
, n = 2, 3, . . .
et f est affine sur
x n+1 ,
xn+x n+1
2
et
xn+x n+1
2
, x n
. Prouver que f vérifie
une condition de Hölder pour tout 0 < α < 1 et que f n’est pas à variation
bornée sur [0 , x 2 ].
I.2.14. Soit f : [a , +∞[ −→ R une fonction à variation bornée sur tout intervalle
[a , b], b > a. On pose
V (f ; a, +∞) = lim
b→+∞
V (f ; a, b).
Prouver que si V (f ; a, +∞) < +∞, alors la limite lim
x→+∞
f (x) existe et est finie.
L’implication réciproque est-elle vérifiée ?
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