Énoncés
I.2.1. Montrer que la fonction définie par
f (x) =
x 2 cos
π
x 2
si x ∈ ]0 , 1],
0
si x = 0
est dérivable sur [0 , 1] mais n’est pas à variation bornée.
I.2.2. Prouver que si f est à dérivée bornée sur [a , b], alors f est à variation
bornée.
I.2.3. Prouver que la fonction
f (x) =
x 2 cos
π
x
si x ∈ ]0 , 1],
0
si x = 0
est à variation bornée sur [0 , 1].
I.2.4. Démontrer que
V (f ; a, b) = f (b) − f (a)
si et seulement si f est croissante sur [a , b].
I.2.5. Pour α ∈ R et β > 0, on définit
f (x) =
x α cos
π
x β
si x ∈ ]0 , 1],
0
si x = 0.
Prouver que f est à variation bornée si et seulement si α > β.
I.2.6. Prouver que f est bornée sur [a , b] si f est à variation bornée sur [a , b].
I.2.7. Si f et g sont à variation bornée sur [a , b], il en est alors de même de leur
produit f g. De plus, si inf
x∈[a,b]
|f (x)| > 0, alors
g
f est aussi à variation bornée.
I.2.8. La composée de deux fonctions à variation bornée est-elle aussi à variation
bornée ?
I.2.9. Si f vérifie une condition de Lipschitz et si g est à variation bornée, alors
la composée f ◦ g est à variation bornée.
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