Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.1.30. On suppose que f est continue sur [a , b], que α est continue et strictement croissante sur cet intervalle et que la limite
lim
h→0
f (x + h) − f (x)
α(x + h) − α(x)
=
df
dα
(x)
existe et est continue sur [a , b]. Prouver que
b
a
df
dα
(x) dα(x) = f (b) − f (a).
I.2. Fonctions à variation bornée
On rappelle que la variation totale V (f ; a, b) de la fonction f sur [a , b] est
V (f ; a, b) = sup
n
i=1
|f (x i ) − f (x i−1 )|
,
la borne supérieure étant prise sur toutes les partitions P = {x 0 , x 1 , . . . , x n }
de [a , b]. Si V (f ; a, b) < +∞, f est dite à variation bornée sur [a , b]. On définit
aussi
v f (x) = V (f ; a, x), a x b.
Clairement, v f (a) = 0 et v f est croissante sur [a , b]. Le théorème suivant dit
qu’une fonction à variation bornée peut être vue comme la différence de deux
fonctions monotones.
Théorème 1. Si f est à variation bornée sur [a , b], alors
f (x) − f (a) = p(x) − q(x),
où
p(x) =
1
2
(v f (x) + f (x) − f (a)) et q(x) =
1
2
(v f (x) − f (x) + f (a))
sont des fonctions croissantes sur [a , b].
Les fonctions p et q sont appelées respectivement les fonctions de variation
positive et négative de f .
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