Énoncés
I.1.25. Calculer
2
−2 x 2 dα(x) dx, où
α(x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x + 2 si −2 x −1,
2
si −1 < x < 0,
x 2 + 3 si 0 x 2.
I.1.26. Démontrer la première formule de la moyenne. Si f est une fonction
continue et si α est une fonction croissante sur [a , b], il existe alors c ∈ [a , b] tel
que
b
a
f (x) dα(x) = f (c)(α(b) − α(a)).
I.1.27. Montrer que si f est une fonction continue et α une fonction strictement
croissante sur [a , b], on peut alors choisir c ∈ ]a , b[ de sorte que l’égalité dans la
première formule de la moyenne (énoncée précédemment) soit vérifiée.
I.1.28.
(a) Soit f une fonction continue sur [0 , 1]. Pour a et b strictement positifs,
déterminer la limite
lim
ε→0 +
bε
aε
f (x)
x
dx.
(b) Calculer
lim
n→+∞
1
0
x n
1 + x
dx.
I.1.29. Soit f une fonction continue et α une fonction strictement croissante sur
[a , b], on pose
F (x) =
x
a
f (t) dα(t).
Prouver que, pour x ∈ [a , b], on a
lim
h→0
F (x + h) − F (x)
α(x + h) − α(x)
= f (x).
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I.1.25. Calculer
2
−2 x 2 dα(x) dx, où
α(x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x + 2 si −2 x −1,
2
si −1 < x < 0,
x 2 + 3 si 0 x 2.
I.1.26. Démontrer la première formule de la moyenne. Si f est une fonction
continue et si α est une fonction croissante sur [a , b], il existe alors c ∈ [a , b] tel
que
b
a
f (x) dα(x) = f (c)(α(b) − α(a)).
I.1.27. Montrer que si f est une fonction continue et α une fonction strictement
croissante sur [a , b], on peut alors choisir c ∈ ]a , b[ de sorte que l’égalité dans la
première formule de la moyenne (énoncée précédemment) soit vérifiée.
I.1.28.
(a) Soit f une fonction continue sur [0 , 1]. Pour a et b strictement positifs,
déterminer la limite
lim
ε→0 +
bε
aε
f (x)
x
dx.
(b) Calculer
lim
n→+∞
1
0
x n
1 + x
dx.
I.1.29. Soit f une fonction continue et α une fonction strictement croissante sur
[a , b], on pose
F (x) =
x
a
f (t) dα(t).
Prouver que, pour x ∈ [a , b], on a
lim
h→0
F (x + h) − F (x)
α(x + h) − α(x)
= f (x).
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