Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.1.19. Pour n ∈ N ∗ , on définit
U n =
1
n + 1
+
1
n + 2
+ · · · +
1
2n
et
V n =
2
2n + 1
+
2
2n + 3
+ · · · +
2
4n − 1
.
Démontrer que
lim
n→+∞
U n = lim
n→+∞
V n = ln 2.
De plus, en utilisant les résultats énoncés en I.1.16 et I.1.18, prouver que
lim
n→+∞
n(ln 2 − U n ) =
1
4
et
lim
n→+∞
n
2 (V n − ln 2) =
1
32
.
I.1.20. Prouver que si f est Riemann-intégrable sur [a, b], on peut alors changer
la valeur prise par f en un nombre fini de points sans affecter ni l’intégrabilité de
f , ni la valeur de son intégrale.
I.1.21. Prouver que f ∈ R(α) si f est monotone et si α est continue sur [a , b].
I.1.22. Prouver que si f ∈ R(α) et si α n’est continue ni à gauche ni à droite
en un point de [a , b], alors f est continue en ce point.
I.1.23. Soit f une fonction Riemann-intégrable et α une fonction continue sur
[a , b]. Si α est dérivable sur [a , b] excepté en un nombre fini de points et si α est
Riemann-intégrable, alors f ∈ R(α) et
b
a
f (x) dα(x) =
b
a
f (x)α
(x) dx.
I.1.24. Soit f une fonction Riemann-intégrable et α une fonction continue sur
[a , b], excepté en un nombre fini de points. Si α est dérivable excepté en un nombre
fini de points et si α est Riemann-intégrable, alors f ∈ R(α) et
b
a
f (x) dα(x) =
b
a
f (x)α
(x) dx + f (a)
α(a
+ ) − α(a)
+
m
k=1
f (c k )
α(c
+
k ) − α(c
−
k )
+ f (b)
α(b) − α(b
− )
,
où les c k (k = 1, 2, . . . , m) sont les points de discontinuité de α dans ]a , b[.
6