Énoncés
(c) lim
n→+∞
1 k + 2 k + · · · + n k
n k+1
,
k 0,
(d) lim
n→+∞
1
n
n
(n + 1)(n + 2) . . . (n + n),
(e) lim
n→+∞
sin
n
n 2 + 1 2 + sin
n
n 2 + 2 2 + · · · + sin
n
n 2 + n 2
,
(f) lim
n→+∞
2 1/n
n + 1
+
2 2/n
n +
1
2
+ · · · +
2 n/n
n +
1
n
,
(g) lim
n→+∞
n
f
1
n
f
2
n
. . . f
n
n
, où f est une fonction continue strictement
positive sur [0 , 1].
I.1.15. Prouver que la limite
lim
n→+∞
sin
π
n+1
1
+
sin
2π
n+1
2
+ · · · +
sin
nπ
n+1
n
est strictement positive.
I.1.16. Prouver que si f est continûment dérivable sur [0 , 1], alors
lim
n→+∞
n
1
n
n
i=1
f
i
n
−
1
0
f (x) dx
=
f (1) − f (0)
2
.
En utilisant ce résultat, calculer
lim
n→+∞
n
1 k + 2 k + · · · + n k
n k+1
−
1
k + 1
,
k 0.
I.1.17. Pour k 0, calculer
lim
n→+∞
1 k + 3 k + · · · + (2n − 1) k
n k+1
.
I.1.18. Soit f une fonction deux fois dérivable sur [0 , 1] telle que f soit bornée
et Riemann-intégrable. Prouver que
lim
n→+∞
n
2
1
0
f (x) dx −
1
n
n
i=1
f
2i − 1
2n
=
f (1) − f (0)
24
.
5