Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.1.9. Prouver que si f et α ont un point commun de discontinuité dans [a , b],
alors lim
μ(P )→0
S(P, f, α) n’existe pas.
I.1.10. Prouver que si lim
μ(P )→0
S(P, f, α) existe, alors f ∈ R(α) sur [a , b] et
lim
μ(P )→0
S(P, f, α) =
b
a
f dα.
Prouver aussi que cette égalité est vérifiée pour toute fonction f continue sur [a, b].
I.1.11. Prouver que si f est bornée et α est continue sur [a, b], alors f ∈ R(α)
si et seulement si lim
μ(P )→0
S(P, f, α) existe.
I.1.12. Soit
α(x) =
c si a x < x ∗ ,
d si x ∗ < x b,
où c < d et c α(x ∗ ) d. Montrer que si la fonction f , bornée sur [a, b], est
telle qu’au moins une des fonctions f ou α est continue à gauche en x ∗ et l’autre
continue à droite en x ∗ , alors f ∈ R(α) et
b
a
f (x) dα(x) = f (x
∗ )(d − c).
I.1.13. On suppose que f est continue sur [a, b] et que α est une fonction en
escalier , autrement dit qu’elle est constante sur les sous-intervalles ]a , c 1 [, ]c 1 , c 2 [,
. . ., ]c m , b[, où a < c 1 < c 2 < · · · < c m < b. Prouver que
b
a
f (x) dα(x)= f (a)(α(a
+ )−α(a))+
m
k=1
f (c k )(α(c
+
k )−α(c
−
k ))+f (b)(α(b)−α(b
− )).
I.1.14. En utilisant les intégrales de Riemann de fonctions choisies de façon
appropriée, trouver les limites suivantes :
(a) lim
n→+∞
1
n + 1
+
1
n + 2
+ · · · +
1
3n
,
(b) lim
n→+∞
n 2
1
n 3 + 1 3 +
1
n 3 + 2 3 + · · · +
1
n 3 + n 3
,
4