Énoncés
I.1.3. Soit 0 < a < b et
f (x) =
x si x ∈ [a , b] ∩ Q,
0 si x ∈ [a , b] \ Q.
Trouver les intégrales de Riemann supérieure et inférieure de f sur [a , b].
I.1.4. Soit a > 0 et
f (x) =
x si x ∈ [−a , a] ∩ Q,
0 si x ∈ [−a , a] \ Q.
Trouver les intégrales de Riemann supérieure et inférieure de f sur [−a , a].
I.1.5. Prouver que la fonction dite de Riemann,
f (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0 si x est irrationnel ou x = 0,
1
q
si x =
p
q , p ∈ Z, q ∈ N ∗ et
p et q premiers entre eux,
est Riemann-intégrable sur tout intervalle [a , b].
I.1.6. On note f : [0 , 1] −→ R la fonction définie par
f (x) =
1 si x =
1
n , n ∈ N ∗ ,
0 sinon.
Prouver que
1
0 f (x) dx = 0.
I.1.7. Prouver que f : [0 , 1] −→ R définie par
f (x) =
0
si x = 0,
1
x −
1
x
sinon
est Riemann-intégrable sur [0, 1].
I.1.8. On définit
f (x) =
0 si x ∈ [−1 , 0],
1 si x ∈ ]0 , 1]
et
α(x) =
0 si x ∈ [−1 , 0[,
1 si x ∈ [0 , 1].
Prouver que f ∈ R(α) bien que lim
μ(P )→0
S(P, f, α) n’existe pas.
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