Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
les bornes inférieures et supérieures étant prises sur l’ensemble des partitions
P de [a , b] et on appelle ces quantités les intégrales de Riemann-Stieltjes respectivement supérieure et inférieure. Si les intégrales de Riemann-Stieltjes supérieure et inférieure sont égales, on note leur valeur commune
b
a f dα que
l’on appelle l’intégrale de Riemann-Stieltjes par rapport à α sur [a , b]. On dit
dans ce cas que f est intégrable par rapport à α au sens de Riemann (ou
Riemann-intégrable par rapport à α) et on écrit f ∈ R(α). Dans le cas particulier où α(x) = x, on obtient l’intégrale de Riemann. Dans ce cas, la somme
de Darboux supérieure (resp. inférieure) correspondant à une partition P et
l’intégrale de Riemann supérieure (resp. inférieure) sont notées respectivement
U (P, f ) (resp. L(P, f )) et
b
a f dx (resp.
b
a f dx). L’intégrale de Riemann de f
sur [a , b] est notée
b
a f dx.
De plus, on choisit, pour chaque partition P de [a , b], des points
t 1 , t 2 , . . . , t n tels que x i−1 t i x i (i = 1, 2, . . . , n) et on considère la somme
S(P, f, α) =
n
i=1
f (t i )Δα i .
On écrit
lim
μ(P )→0
S(P, f, α) = A
si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que μ(P ) < δ implique |S(P, f, α) − A| <
ε pour tous les choix admissibles de t i . Dans le cas où α(x) = x, on pose
S(P, f ) =
n
i=1
f (t i )(x i − x i−1 ).
Dans toute cette section, on supposera toujours f bornée et α croissante
sur [a , b]. On utilisera souvent les théorèmes suivants (voir, par exemple, [29])
dans les solutions des problèmes.
Théorème 1. f ∈ R(α) sur [a , b] si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe
une partition P telle que
U (P, f, α) − L(P, f, α) < ε.
Théorème 2. Si f est continue sur [a , b], alors f ∈ R(α) sur [a , b].
I.1.1. On suppose que α est croissante sur [a , b], a c b, α est continue en c,
f (c) = 1 et f (x) = 0 pour x = c. Prouver que f ∈ R(α) et
b
a f dα = 0.
I.1.2. On suppose que f est continue sur [a , b], a < c < b, α(x) = 0 si x ∈ [a , c[
et α(x) = 1 si x ∈ [c , b]. Prouver que
b
a f dα = f (c).
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les bornes inférieures et supérieures étant prises sur l’ensemble des partitions
P de [a , b] et on appelle ces quantités les intégrales de Riemann-Stieltjes respectivement supérieure et inférieure. Si les intégrales de Riemann-Stieltjes supérieure et inférieure sont égales, on note leur valeur commune
b
a f dα que
l’on appelle l’intégrale de Riemann-Stieltjes par rapport à α sur [a , b]. On dit
dans ce cas que f est intégrable par rapport à α au sens de Riemann (ou
Riemann-intégrable par rapport à α) et on écrit f ∈ R(α). Dans le cas particulier où α(x) = x, on obtient l’intégrale de Riemann. Dans ce cas, la somme
de Darboux supérieure (resp. inférieure) correspondant à une partition P et
l’intégrale de Riemann supérieure (resp. inférieure) sont notées respectivement
U (P, f ) (resp. L(P, f )) et
b
a f dx (resp.
b
a f dx). L’intégrale de Riemann de f
sur [a , b] est notée
b
a f dx.
De plus, on choisit, pour chaque partition P de [a , b], des points
t 1 , t 2 , . . . , t n tels que x i−1 t i x i (i = 1, 2, . . . , n) et on considère la somme
S(P, f, α) =
n
i=1
f (t i )Δα i .
On écrit
lim
μ(P )→0
S(P, f, α) = A
si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que μ(P ) < δ implique |S(P, f, α) − A| <
ε pour tous les choix admissibles de t i . Dans le cas où α(x) = x, on pose
S(P, f ) =
n
i=1
f (t i )(x i − x i−1 ).
Dans toute cette section, on supposera toujours f bornée et α croissante
sur [a , b]. On utilisera souvent les théorèmes suivants (voir, par exemple, [29])
dans les solutions des problèmes.
Théorème 1. f ∈ R(α) sur [a , b] si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe
une partition P telle que
U (P, f, α) − L(P, f, α) < ε.
Théorème 2. Si f est continue sur [a , b], alors f ∈ R(α) sur [a , b].
I.1.1. On suppose que α est croissante sur [a , b], a c b, α est continue en c,
f (c) = 1 et f (x) = 0 pour x = c. Prouver que f ∈ R(α) et
b
a f dα = 0.
I.1.2. On suppose que f est continue sur [a , b], a < c < b, α(x) = 0 si x ∈ [a , c[
et α(x) = 1 si x ∈ [c , b]. Prouver que
b
a f dα = f (c).
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