I
L’INTÉGRALE DE RIEMANN-STIELTJES
Énoncés
I.1. Propriétés de l’intégrale de Riemann-Stieltjes
Nous commençons par quelques notations, définitions et théorèmes. Nous
entendons par une partition P d’un intervalle fermé [a , b] un ensemble fini de
points x 0 , x 1 , . . . , x n tels que
a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b.
Le réel μ(P ) = max {x i − x i−1 : i = 1, 2, . . . , n} est appelé le pas de P .
Pour une fonction α croissante sur [a , b], on pose
Δα i = α(x i ) − α(x i−1 ).
Si f est une fonction réelle bornée sur [a , b], on définit les sommes de Darboux
supérieure et inférieure par rapport à α et relativement à P respectivement
par
U (P, f, α) =
n
i=1
M i Δα i ,
L(P, f, α) =
n
i=1
m i Δα i ,
où
M i = sup
x∈[x i−1 ,x i ]
f (x),
m i =
inf
x∈[x i−1 ,x i ]
f (x).
On pose aussi
b
a
f dα = inf U (P, f, α),
b
a
f dα = sup L(P, f, α),