Solutions
Puisque
k
j=0
K j (x) =
sin
2 (k+1)x
2
2 sin
2 x
2
et, par hypothèse, Δa k − Δa k+1 = a k − 2a k+1 + a k+2 0, on voit que
f (x) = lim
n→+∞
s n (x) =
+∞
k=0
(Δa k − Δa k+1 )
k
j=0
K j (x) 0.
On sait que la série
a 0
2 +
+∞
n=1
a n cos nx converge uniformément sur [ε , π]. Donc,
π
ε
f (x) dx =
a 0
2
(π − ε) +
+∞
n=1
a n
π
ε
cos nx dx
=
a 0
2
(π − ε) +
+∞
n=1
a n
sin nε
n
.
D’après la solution de II.5.57, cette dernière série converge uniformément sur
[0 , π] et on obtient donc, en faisant tendre ε vers 0,
π
0
f (x) dx = lim
ε→0
π
ε
f (x) dx =
a 0
2
π.
Puisque f est paire, on voit que
a 0 =
1
π
π
−π
f (x) dx.
De même,
π
ε
f (x) cos kx dx =
a 0
2
π
ε
cos kx dx +
k−1
n=1
a n
π
ε
cos kx cos nx dx
+ a k
π
ε
cos
2 kx dx +
+∞
n=k+1
a n
π
ε
cos kx cos nx dx
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