Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
et, en faisant tendre ε vers 0, on obtient
lim
ε→0
π
ε
f (x) cos kx dx = a k
π
2
+ lim
ε→0
+∞
n=k+1
a n
π
ε
cos kx cos nx dx
= a k
π
2
+ lim
ε→0
+∞
n=k+1
a n
sin(k + n)ε
2(k + n)
+
sin(k − n)ε
2(k − n)
= a k
π
2
,
la dernière égalité pouvant s’obtenir comme précédemment.
352
et, en faisant tendre ε vers 0, on obtient
lim
ε→0
π
ε
f (x) cos kx dx = a k
π
2
+ lim
ε→0
+∞
n=k+1
a n
π
ε
cos kx cos nx dx
= a k
π
2
+ lim
ε→0
+∞
n=k+1
a n
sin(k + n)ε
2(k + n)
+
sin(k − n)ε
2(k − n)
= a k
π
2
,
la dernière égalité pouvant s’obtenir comme précédemment.
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