Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
De plus, une sommation par parties donne
n
k=N +1
b k sin kx
=
n−1
k=N +1
(b k − b k+1 )(D k (x) − D N (x)) + b n (D n (x) − D N (x))
,
où
|D k (x)| =
k
j=1
b k sin jx
1
sin
x
2
π
x
< N + 1.
Donc,
n
k=N +1
b k sin kx
2(N + 1)b N +1 2C.
Nous sommes donc arrivés à l’objectif annoncé. Il s’ensuit que la limite simple
de s n (x) est une fonction bornée (que l’on note f ) et on peut utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue (voir II.3, th. 3) pour prouver que
+∞
n=1
b n sin nx est la série de Fourier de f .
II.5.59. D’après le test de convergence de Dirichlet,
a 0
2 +
+∞
n=1
a n cos nx
converge simplement vers une fonction que l’on notera f (x) pour x = 2kπ
(k ∈ Z). Montrons maintenant que f est positive. On pose
s n (x) =
a 0
2
+
n
k=1
a k cos kx.
On a alors, avec la transformation d’Abel,
s n (x) =
n−1
k=0
(a k − a k+1 )K k (x) + a n K n (x) =
n−1
k=0
Δa k K k (x) + a n K n (x),
où
K n (x) =
1
2
+ cos x + cos 2x + . . . + cos nx =
sin
n +
1
2
x
2 sin
x
2
.
De nouveau, avec la transformation d’Abel,
s n (x) =
n−2
k=0
(Δa k − Δa k+1 )
k
j=0
K j (x) + Δa n−1
n−1
j=0
K j (x) + a n K n (x).
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