Solutions
n tend vers +∞. Puisque sin x >
2x
π pour 0 < x <
π
2 , on voit que
σ n
π
n
1
n
[
n
2 ]
k=1
(n − k)b k sin
kπ
n
1
n
[
n
2 ]
k=1
2kb k
1 −
k
n
1
n
[
n
2 ]
k=1
2kb k
1 −
n
2
n
1
n
[
n
2 ]
k=1
kb k
1
n
b [
n
2 ]
n
2
n
2
+ 1
2
,
ce qui implique que
n
2
b [
n
2 ] tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.
II.5.58. Si
+∞
n=1
b n sin nx est la série de Fourier d’une fonction bornée, la
suite {σ n (x)} des moyennes de Cesàro de
+∞
n=1
b n sin nx est alors bornée
(voir II.5.41). En particulier,
σ n
π
n
est bornée et on peut prouver, comme
dans la solution du problème précèdent, que nb n = O(1). Supposons maintenant que nb n = O(1), autrement dit, qu’il existe C > 0 tel que nb n C pour
tout n ∈ N ∗ . Notre but est de prouver qu’il existe une constante M telle que
|s n (x)| =
n
k=1
b k sin kx
M
pour tout x et tout n. On peut supposer, sans perte de généralité, que
0 < x < π. Pour
π
N +1 < x
π
N , on a alors
|s n (x)| =
N
k=1
b k sin kx +
n
k=N +1
b k sin kx
(une somme vide étant comptée comme nulle) et
N
k=1
b k sin kx x
N
k=1
kb k πC.
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