Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
Soit ε > 0. Il existe n 0 ∈ N ∗ tel que 0 nb n < ε pour tout n n 0 . On a
r n (0) = 0 et, si x ∈
0 ,
π
4
, il existe alors N tel que
1
N < x
1
N −1 . Si n n 0 ,
il y a alors deux cas possibles : soit n N , soit n < N. Dans le premier cas,
avec (1) et l’inégalité |D k (x)|
π
x , on obtient
|r n (x)| b n
π
x
+ b n
π
x
< 2πN b n 2πnb n < 2πε
et, dans le second cas,
|r n (x)|
N −1
k=n
b k sin kx
+
+∞
k=N
b k sin kx
N −1
k=n
kb k x + 2πε
N − n
N − 1
ε + 2πε (2π + 1)ε.
Ceci montre que r n (x) converge uniformément vers 0 sur
0 ,
π
4
.
Pour prouver que la condition est nécessaire, on suppose que la série
+∞
n=1
b n sin nx converge uniformément sur [0 , 2π]. D’après le critère de convergence uniforme de Cauchy, étant donné ε > 0, il existe n 0 tel que
2n
k=n+1
b k sin kx
< ε
pour tout n n 0 et tout x ∈ [0 , 2π]. En prenant x =
π
4n , on obtient
π
4n kx
π
2 pour k = n + 1, . . . , 2n, d’où
ε >
1
√
2
2n
k=n+1
b k
1
√
2
nb 2n ,
ce qui donne 2nb 2n < 2
√
2ε. Il s’ensuit alors que lim
n→+∞
nb n = 0.
II.5.57. Le problème précédent implique que la série
+∞
n=1
b n sin nx converge
uniformément vers une fonction continue si lim
n→+∞
nb n = 0. On suppose maintenant que
+∞
n=1
b n sin nx est la série de Fourier d’une fonction continue f . D’après
le résultat de II.5.50, la suite {σ n (x)} des moyennes de Cesàro de
+∞
n=1
b n sin nx
converge uniformément vers f . Donc f (0) = 0 et σ n
π
n
converge vers 0 lorsque
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