Solutions
où f t (x) = f (x − t) est la translation de f par −t. Puisque l’inégalité
π
−π
(σ n (x) − f (x))g(x) dx
g q
1
2π
π
−π
f t − f p
sin
2 nt
2
n sin
2 t
2
dt
est vérifiée pour tout g ∈ L q [−π , π] et
σ n − f p = sup
g q =1
π
−π
(σ n (x) − f (x))g(x) dx
,
on obtient
σ n − f p
1
2π
π
−π
f t − f p
sin
2 nt
2
n sin
2 t
2
dt.
On a alors, pour 0 < δ < π,
σ n − f p
1
2π
δ
−δ
f t − f p
sin
2 nt
2
n sin
2 t
2
dt +
1
2π
δ|t|π
f t − f p
sin
2 nt
2
n sin
2 t
2
dt
sup
|t|<δ
f t − f p + 2 f p
1
n sin
2 δ
2
et le résultat cherché se déduit du fait que la translation f t est continue pour
la norme L p (voir la solution de II.5.49).
II.5.56. On montre d’abord que la condition lim
n→+∞
nb n = 0 est suffisante
pour la convergence uniforme de
+∞
n=1
b n sin nx sur [0 , 2π]. Puisque {b n } est
une suite décroissante convergente vers 0, d’après le test de Dirichlet pour
la convergence uniforme (voir, par exemple, III.2.13 (vol. II)), la série est
uniformément convergente sur [δ , 2π − δ] pour 0 < δ < π. Il suffit donc de
prouver que la série est uniformément convergente sur
0 ,
π
4
. La formule de
sommation par parties (transformation d’Abel) implique
m
k=n
b k sin kx =
m−1
k=n
(b k − b k+1 )D k (x) − b n D n−1 (x) + b m D m (x),
où D k (x) = sin x + sin 2x + · · · + sin kx. En posant alors
r n (x) =
+∞
k=n
b k sin kx,
on obtient
|r n (x)|
+∞
k=n
(b k − b k+1 ) |D k (x)| + b n |D n−1 (x)| .
(1)
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