Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
Donc,
P n
π 2
4n
Nn
k=1
k
2
a
2
k + b
2
k
+ ε
√
Cπ 2
4n
Nn
k=1
k
a 2
k + b 2
k + ε.
II.5.54. On va prouver que les hypothèses du théorème de Fatou
(voir II.5.52) sont vérifiées. On a
n k
1
q
n k+1 · · ·
1
q m−k n m .
De plus, d’après II.5.2, on sait que lim
n→+∞
a 2
k + b 2
k = 0. Donc, étant donné
ε > 0, il existe n ∗ tel que
a 2
k + b 2
k < ε pour n > n ∗ . Si n ∗ n m N < n m+1 ,
alors
1
N
N
k=1
k
a 2
k + b 2
k =
1
N
n ∗
k=1
k
a 2
k + b 2
k +
1
N
m
k=j
n k
a 2
n k
+ b 2
n k
où n j−1 n ∗ < n j . Puisque le premier terme tend vers 0 lorsque N tend
vers +∞, il suffit de prouver que le second terme tend aussi vers 0 lorsque N
tend vers +∞. Pour cela, on observe que
1
N
m
k=j
n k
a 2
n k
+ b 2
n k
ε
n m
m
k=j
q
k−m n m < ε
+∞
l=0
q
−l = ε
q
q − 1
.
II.5.55. Soit g une fonction de L q [−π , π] où
1
p +
1
q = 1. On a alors
π
−π
(σ n (x) − f (x))g(x) dx
=
1
2π
π
−π
π
−π
(f (x − t) − f (x))g(x)
sin
2 nt
2
n sin
2 t
2
dt
dx
et on obtient, avec le théorème de Fubini et l’inégalité de Hölder,
π
−π
(σ n (x) − f (x))g(x) dx
π
−π
1
2π
π
−π
(f (x − t) − f (x))g(x) dx
sin
2 nt
2
n sin
2 t
2
dt
g q
1
2π
π
−π
f t − f p
sin
2 nt
2
n sin
2 t
2
dt,
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