Solutions
apporte une contribution au moins égale à
d 2
4 . Ceci contredit (1). On a donc
prouvé que f est continue si et seulement si la condition (1) est vérifiée. Notre
but est de montrer que la condition (1) est équivalente à
lim
n→+∞
1
n
n
k=1
k
a 2
k + b 2
k = 0.
(2)
On pose
P n = n
+∞
k=1
a
2
k + b
2
k
sin
2 kπ
2n
et T n =
1
n
n
k=1
k
a 2
k + b 2
k .
Si lim
n→+∞
P n = 0, alors
P n n
n
k=1
a
2
k + b
2
k
sin
2 kπ
2n
1
n
n
k=1
k
2
a
2
k + b
2
k
T
2
n ,
la dernière inégalité se déduisant de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir, par
exemple, I.2.12 (vol. I)). Ceci prouve que lim
n→+∞
T n = 0. Réciproquement, si
lim
n→+∞
T n = 0, on a alors
P n = n
Nn
k=1
a
2
k + b
2
k
sin
2 kπ
2n
+ n
+∞
k=Nn+1
a
2
k + b
2
k
sin
2 kπ
2n
n
Nn
k=1
a
2
k + b
2
k
k 2 π 2
4n 2 + n
+∞
k=Nn+1
a
2
k + b
2
k
π 2
4n
Nn
k=1
k
2
a
2
k + b
2
k
+ nC
+∞
k=Nn+1
1
k 2
car, d’après le résultat de II.5.4, les coefficients a n et b n sont des O
n −1
. De
plus, puisque
+∞
k=Nn+1
1
k 2 <
1
Nn
,
étant donné ε > 0, il existe N tel que
nC
+∞
k=Nn+1
1
k 2 < ε.
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