Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.5.52. Le théorème de Fejér-Lebesgue (voir II.5.48) implique
lim
n→+∞
σ n (x) = f (x) p.p. La première proposition sera donc prouvée si
on montre que lim
n→+∞
(s n (x) − σ n (x)) = 0 pour tout x. D’après l’égalité (∗)
dans la solution de II.5.42,
|s n (x) − σ n+1 (x)| =
n
k=1
k(a k cos kx + b k sin kx)
n + 1
n
k=1
k
a 2
k + b 2
k
n + 1
.
De plus, suivant le résultat de II.5.50, l’autre proposition suit.
II.5.53. On démarre avec la formule suivante démontrée dans la solution
de II.5.33 :
1
π
π
−π
(f (x + h) − f (x − h))
2 dx = 4
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
sin
2 nh
et on obtient
1
π
π
−π
f
x +
kπ
r
− f
x +
(k − 1)π
r
2
dx = 4
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
sin
2 nπ
2r
.
Donc,
1
π
π
−π
2r
k=1
f
x +
kπ
r
− f
x +
(k − 1)π
r
2
dx = 8r
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
sin
2 nπ
2r
.
Puisque
1
π
π
−π
2r
k=1
f
x +
kπ
r
− f
x +
(k − 1)π
r
2
dx 2ω
π
r
V (f ; 0, 2π)
où ω(h) = sup {|f (x + h) − f (x)| : x ∈ R}, on voit que
lim
r→+∞
r
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
sin
2 nπ
2r
= 0
(1)
si f est continue. On montre maintenant que (1) implique la continuité de f .
En effet, si x 0 est un point où f est discontinue, alors
f (x
+
0 ) − f (x
−
0 )
= d > 0,
ce qui implique qu’au moins un des termes de la somme
2r
k=1
f
x +
kπ
r
− f
x +
(k − 1)π
r
2
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