Solutions
pour un certain 0 < δ < π. Soit ε > 0, il existe 0 < η < δ tel que Φ(t) < εt
pour t < η. On prend alors n tel que
4
√
n >
1
η et on écrit
1
2πn
δ
0
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
ϕ(t) dt =
1
2πn
1
n
0
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
ϕ(t) dt
+
1
2πn
η
1
n
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
ϕ(t) dt +
1
2πn
δ
η
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
ϕ(t) dt
= I 1 + I 2 + I 3 .
On a
|I 1 |
1
2πn
1
n
0
n 2 t 2
4
t 2
π 2
|ϕ(t)| dt =
nπ
8
1
n
0
|ϕ(t)| dt <
π
8
ε.
Une intégration par parties donne
|I 2 |
π
2n
η
1
n
|ϕ(t)|
t 2 dt =
π
2n
Φ(η)
η 2 − n
2 Φ
1
n
+ 2
η
1
n
Φ(t)
t 3 dt
<
π
2n
ε
η
+ 2ε
η
1
n
dt
t 2
=
π
2n
ε
η
+ 2εn −
2ε
η
< πε
Enfin,
|I 3 |
π
2nη 2
δ
η
|ϕ(t)| dt
πC
2nη 2
πC
2
√ n
où C =
π
0 |ϕ(t)| dt.
On remarque ici que, suivant le résultat de II.4.24, {σ n (x)} converge vers
f (x) presque partout sur R.
II.5.49. On commence par prouver que si f est périodique de période 2π sur
R, f ∈ L p [−π , π], 1 p < +∞ et f t (x) = f (x − t), alors
lim
t→0
f t − f p = 0,
ce qui signifie que la translation est continue pour la norme L p . On suppose que |t| < π. On note aussi que
2π
−2π |f (x)|
p dx < +∞. D’après II.3.30,
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