Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
étant donné ε > 0, il existe une fonction g, continue sur [−2π , 2π], telle que
2π
−2π |f (x) − g(x)|
p dx < ε. D’où,
π
−π
|f (x − t) − f (x)|
p dx
π
−π
|f (x − t) − g(x − t)|
p dx +
π
−π
|g(x − t) − g(x)|
p dx
+
π
−π
|g(x) − f (x)|
p dx
π−t
−π−t
|g(x) − f (x)|
p dx +
π
−π
|g(x − t) − g(x)|
p dx + ε
2ε +
π
−π
|g(x − t) − g(x)|
p dx.
Donc, la fonction g étant uniformément continue sur [−2π , 2π], il existe
δ > 0 tel que |g(x − t) − g(x)|
p <
ε
2π pour |t| < δ et x ∈ [−π , π], d’où
π
−π |f (x − t) − f (x)|
p dx 3ε, ce qui démontre la proposition énoncée plus
haut.
On suppose maintenant que f est 2π-périodique sur R, f ∈ L 2 [−π , π] et
que g est la fonction définie précédemment. En utilisant alors successivement
l’inégalité de Cauchy-Schwarz, la formule de changement de variable (II.4.13)
et la périodicité de f , on obtient
|g(x 1 ) − g(x 2 )| f 2
π
−π
|f (x 1 + t) − f (x 2 + t)|
2 dt
1
2
= f 2
π+x 1
−π+x 1
|f (s) − f (s − (x 1 − x 2 ))|
2 ds
1
2
= f 2
π
−π
|f (s) − f (s − (x 1 − x 2 ))|
2 ds
1
2
= f 2 f x 1 −x 2 − f 2 .
Le résultat découle alors de la continuité de f t pour la norme L 2 .
II.5.50. On a
σ n (x) − f (x) =
1
2πn
π
0
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
(f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)) dt.
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