Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
pour tout réel s. On choisit alors s =
f (x − )+f (x + )
2
. Pour prouver que la suite
{σ n (x)} converge vers s, on pose ϕ(t) = f (x + t)+ f (x − t) − 2s et on remarque
qu’il suffit de montrer que
lim
n→+∞
1
n
δ
0
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
ϕ(t) dt = 0
pour un certain 0 < δ < π car
1
n
π
δ
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
ϕ(t) dt
1
n
π
δ
|ϕ(t)|
sin
2 1
2 t
dt.
Par hypothèse, étant donné ε > 0, il existe 0 < η < δ tel que |ϕ(t)| < ε pour
|t| < η. On a alors
1
n
δ
0
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
ϕ(t) dt
π 2
n
δ
0
sin
2 1
2 nt
t 2
|ϕ(t)| dt
π 2
n
η
0
sin
2 1
2 nt
t 2
ε dt +
π 2
n
δ
η
1
t 2 |ϕ(t)| dt
=
π 2 ε
n
η
0
sin
2 1
2 nt
t 2
dt +
π 2
n
δ
η
|ϕ(t)|
t 2 dt.
De plus, d’après I.5.55,
π 2 ε
n
η
0
sin
2 1
2 nt
t 2
dt =
π 2 ε
2
1
2
nη
0
sin
2 u
u 2 du
<
π 2 ε
2
+∞
0
sin
2 u
u 2 du =
π 3 ε
4
.
II.5.48. On note que si x est un point de Lebesgue de f (voir II.4.22 pour
la définition), alors
Φ(t) =
t
0
|f (x + u) + f (x − u) − 2f (x)| du = o(t).
On pose ϕ(t) = f (x+t)+f (x−t)−2f (x). Comme dans la solution du problème
précédent,
σ n (x) − f (x) =
1
2πn
π
0
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
ϕ(t) dt
et il suffit de prouver que
lim
n→+∞
1
2πn
δ
0
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
ϕ(t) dt = 0.
340