Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
On prouve maintenant qu’il existe une constante M (indépendante de n, r
et x) telle que |ϕ(n, r, x)| M . En effet,
ϕ(n, r, x) =
n
k=1
cos(r + n − k + 1)x
2k − 1
−
n
k=1
cos(r + n + k)x
2k − 1
= 2 sin
r + n +
1
2
x
n
k=1
sin
k +
1
2
x
2k − 1
.
Puisque
+∞
k=1
sin(2k−1)
x
2
2k−1
=
π
4 pour x ∈ ]0 , 2π[ (voir II.5.12), la suite des sommes
partielles de cette série est bornée. Il s’ensuit que les sommes de termes regroupés,
2λ 1
n=1
α n cos nx +
+∞
n=2
ϕ(λ n , 2λ 1 + 2λ 2 + · · · + 2λ n−1 , x)
n 2
,
(1)
convergent absolument et uniformément sur R vers une fonction f continue
sur R. On vérifie aussi facilement que
f (x) ∼
+∞
n=1
α n cos nx.
On montre enfin que l’on peut choisir la suite {λ n } de sorte que la série précédente diverge en 0, autrement dit, de sorte que S n = α 1 + α 2 + · · · + α n diverge
vers l’infini. Puisque
S 2λ 1 +2λ 2 +···+2λ n−1 +λn =
1
n 2
1
2λ 1 − 1
+
1
2λ 1 − 3
+ · · · +
1
3
+ 1
se comporte comme
ln λn
2n 2 lorsque n tend vers +∞ (les deux divergent ou
convergent vers la même limite), il suffit de prendre, par exemple, λ n = n n 2
et la série de Fourier de f ne converge pas vers f en x = 2kπ, k ∈ Z. On
remarquera ici que si on remplace x par n!x dans la série groupée (1), la série de Fourier correspondante diverge alors en tout point x =
kπ
m , k ∈ Z et
m ∈ N ∗ . La série de Fourier diverge donc sur un ensemble dense. En effet, si
x =
kπ
m , pour n assez grand, la partie du n-ième groupe dont les coefficients
sont positifs a pour valeur
1
n 2
1
2λ 1 − 1
+
1
2λ 1 − 3
+ · · · +
1
3
+ 1
et, en prenant λ n comme ci-dessus, on voit que la série ne peut pas converger
en ces points.
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