Solutions
II.5.37. Par la formule donnée en II.5.8
s n (x) =
1
π
π
0
(f (x + t) + f (x − t))
sin
n +
1
2
t
2 sin
1
2 t
dt,
on obtient
|s n (x)|
2M
π
π
0
sin
n +
1
2
t
2 sin
1
2 t
dt < M
π
0
sin
n +
1
2
t
t
t
= M
(n+
1
2 )π
0
|sin u|
u
du < M
1
0
du + M
(n+
1
2 )π
1
du
u
= M
1 + ln
n +
1
2
π
.
On peut remarquer que la majoration est uniforme sur R.
II.5.38. On a
L n =
1
2π
π
−π
sin
n +
1
2
x
sin
x
2
dx =
1
π
π
0
sin
n +
1
2
x
sin
x
2
dx
=
2
π
π/2
0
sin
n +
1
2
2t
sin t
dt >
2
π
π/2
0
sin
n +
1
2
2t
t
dt
=
2
π
(2n+1)π/2
0
|sin u|
u
du >
2
π
n−1
k=0
(k+1)π
kπ
|sin u|
u
du
=
2
π
n−1
k=0
π
0
sin u
u + kπ
du >
2
π
n−1
k=0
1
(k + 1)π
π
0
sin u du
=
4
π 2
n−1
k=0
1
k + 1
.
On sait (voir, par exemple, II.1.41 (vol. I)) que la suite
b n =
n−1
k=0
1
k + 1
− ln n
décroît vers la constante d’Euler γ = 0,5772 . . . et L n >
4
π 2 ln n +
4
π 2 γ. Pour
prouver l’inégalité inverse, on observe d’abord que
sin
n +
1
2
t
sin
t
2
−
sin nt
tan
t
2
1.
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