Solutions
En prenant N = 2 k , on obtient
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
sin
2 nπ
2 k+1
L
2 k+2
π
2 k
α
V.
Il suffit alors de procéder comme dans la solution du problème II.5.33.
II.5.36. L’exemple suivant est dû à Fejér. Soit G n l’ensemble des 2n nombres
1
2n − 1
,
1
2n − 3
, . . . ,
1
3
, 1, −1, −
1
3
, . . . , −
1
2n − 1
.
On prend une suite strictement croissante d’entiers strictement positifs {λ n }
et on considère les ensembles G λ 1 , G λ 2 , . . . On multiplie chaque nombre de
l’ensemble G λn par n −2 pour obtenir la suite
1
1 2 (2λ 1 − 1)
, . . . , −
1
1 2 (2λ 1 − 1)
,
1
2 2 (2λ 2 − 1)
, . . . , −
1
2 2 (2λ 2 − 1)
, . . . ,
que l’on notera α 1 , α 2 , . . . Notre but est de prouver que
∞
n=1
α n cos nx
est la série de Fourier d’une fonction continue. On regroupe les termes de cette
série de la façon suivante :
2λ 1
n=1
α n cos nx +
2λ 1 +2λ 2
n=2λ 1 +1
α n cos nx +
2λ 1 +2λ 2 +2λ 3
n=2λ 1 +2λ 2 +1
α n cos nx + · · ·
On peut écrire cette dernière série sous la forme
2λ 1
n=1
α n cos nx +
+∞
n=2
ϕ(λ n , 2λ 1 + 2λ 2 + · · · + 2λ n−1 , x)
n 2
,
où
ϕ(n, r, x) =
cos(r + 1)x
2n − 1
+
cos(r + 2)x
2n − 3
+ · · · +
cos(r + n)x
1
−
cos(r + n + 1)x
1
−
cos(r + n + 2)x
3
− · · · −
cos(r + 2n)x
2n − 1
.
333