Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
On peut supposer que 0 < β < 2. On a alors, d’après l’inégalité de Hölder
(voir I.6.27),
2 k
n=2 k−1 +1
a
2
n + b
2
n
β
2
⎛
⎝
2 k
n=2 k−1 +1
a
2
n + b
2
n
⎞
⎠
β
2
⎛
⎝
2 k
n=2 k−1 +1
1
⎞
⎠
1−
β
2
L
β
π
2 k
αβ
2
(k−1)(1−
β
2 )
=
L β π αβ
2
1−
β
2
2
k(1−
β
2
−αβ) .
Donc,
+∞
n=2
a
2
n + b
2
n
β
2 =
+∞
k=1
⎛
⎝
2 k
n=2 k−1 +1
a
2
n + b
2
n
β
2
⎞
⎠
+∞
k=1
L β π αβ
2
1−
β
2
2
k(1−
β
2
−αβ)
et le résultat cherché suit.
II.5.35. On a
2N
i=1
f
x +
iπ
N
− f
x +
(i − 1)π
N
2
L
π
N
α
2N
i=1
f
x +
iπ
N
− f
x +
(i − 1)π
N
L
π
N
α
V,
où V est la variation totale de f sur [0 , 2π]. D’après (∗) dans la solution du
problème II.5.33 et d’après l’égalité de Parseval (voir II.5.27),
2N
2π
0
f
x +
iπ
N
− f
x +
(i − 1)π
N
2
dx = 8Nπ
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
sin
2 nπ
2N
pour i = 1, 2, . . . , 2N . Donc,
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
sin
2 nπ
2N
L
4N
π
N
α
V.
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