Solutions
D’après l’égalité de Parseval (voir II.5.27),
1
π
π
−π
(f (x + h) − f (x − h))
2 dx = 4
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
sin
2 nh.
Par hypothèse,
1
π
π
−π
(f (x + h) − f (x − h))
2 dx 2L
2 (2h)
2α .
On obtient, en prenant h =
π
2 k+1 ,
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
sin
2 nπ
2 k+1
1
2
L
2
π
2 k
2α
.
Donc,
2 k
n=2 k−1 +1
a
2
n + b
2
n
sin
2 nπ
2 k+1
1
2
L
2
π
2 k
2α
.
Puisque sin
2 nπ
2 k+1
1
2 pour n = 2 k−1 + 1, · · · , 2 k , on a
2 k
n=2 k−1 +1
a
2
n + b
2
n
L
2
π
2 k
2α
.
D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir I.2.12 (vol. I)),
2 k
n=2 k−1 +1
a 2
n + b 2
n
⎛
⎝
2 k
n=2 k−1 +1
a
2
n + b
2
n
⎞
⎠
1/2 ⎛
⎝
2 k
n=2 k−1 +1
1
⎞
⎠
1/2
L
π
2 k
α
2
k−1
2
< L
π
2 k
α
2
k
2 .
Finalement, on obtient
+∞
n=2
a 2
n + b 2
n =
+∞
k=1
⎛
⎝
2 k
n=2 k−1 +1
a 2
n + b 2
n
⎞
⎠ L
+∞
k=1
π
2 k
α
2
k
2 .
II.5.34. La solution du problème précédent implique
2 k
n=2 k−1 +1
a
2
n + b
2
n
L
2
π
2 k
2α
.
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