Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
De même,
cos
4 x =
3
8
+
cos 2x
2
+
cos 4x
8
et
1
π
π
−π
cos
8 x dx =
9
32
+
1
4
+
1
64
=
35
64
.
II.5.31. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’égalité de
Parseval (II.5.27),
+∞
n=1
|a n |
n
+∞
n=1
a
2
n
1/2 +∞
n=1
1
n 2
1/2
< +∞.
II.5.32. Une intégration par parties donne
a m = −
1
m
b
m et b m =
1
m
a
m
(m ∈ N
∗ ),
où a
m et b
m sont les coefficients de Fourier de f . De plus, puisque f est continue sur [−π , π], f ∈ L 2 [−π , π]. Donc, d’après le résultat de II.5.27, la série
+∞
n=1
(a
n )
2 + (b
n )
2
converge. L’inégalité de Cauchy-Schwarz implique alors
max
x∈R
|f (x) − s n (x)| = max
x∈R
+∞
m=n+1
a m cos mx + b m sin mx
+∞
m=n+1
|a
m | + |b
m |
m
+∞
m=n+1
1
m 2
1
2
+∞
m=n+1
2
a
m
2 +
b
m
2
1
2
=
+∞
m=n+1
1
m 2
1
2
o(1)
1
√
n
o(1).
II.5.33. Si f (x) ∼
a 0
2 +
+∞
n=1
(a n cos nx + b n sin nx), alors
f (x + h) − f (x − h) ∼ 2
+∞
n=1
sin nh(b n cos nx − a n sin nx).
(∗)
330