Solutions
et
+∞
k=1
A k
f dm =
b
a f + (x) dx < +∞, on voit que
+∞
k=1
k/n
(k−1)/n t d(G(t))
converge, ce qui signifie que l’intégrale
+∞
0
t d(G(t)) converge et on a
+∞
0
t d(G(t)) −
b
a
f
+ (x) dx
1
n
(b − a − G(0)) .
Un passage à la limite lorsque n tend vers +∞ montre que
+∞
0
t d(G(t)) =
b
a
f
+ (x) dx.
On peut prouver de façon complètement semblable que
0
−∞
t d(G(t)) =
b
a
f
− (x) dx.
II.5. Séries de Fourier
II.5.1. Si ρ n =
a 2
n + b 2
n = 0, alors
a n cos nx + b n sin nx = ρ n
a n
ρ n
cos nx +
b n
ρ n
sin nx
et il suffit de prendre α n tel que sin α n =
an
ρn et cos α n =
bn
ρn .
II.5.2. D’après II.3.27, étant donné ε > 0, il existe une fonction continue g
sur [−π , π] telle que
π
−π
|f (x) − g(x)| dx <
ε
2
.
D’après I.4.11,
lim
n→+∞
π
−π
g(x) cos nx dx = lim
n→+∞
π
−π
g(x) sin nx dx = 0
et on obtient
π
−π
f (x) cos nx dx
π
−π
|f (x) − g(x)| dx +
π
−π
g(x) cos nx dx
ε
2
+
ε
2
= ε
pour n suffisamment grand.
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