Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
grand peuvent être contenus dans [x 0 − h , x 0 + h]. Donc, pour h suffisamment
petit,
m ({x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| > ε})
2h
|J n | + r 1 + r 2
2h
,
où
représente la somme sur les n tels que I n ⊂ [x 0 − h , x 0 + h],
r 1 = m(J k ∩ [x 0 − h , x 0 + h]) si x 0 − h ∈ J k et r 1 = 0 autrement,
r 2 = m(J s ∩ [x 0 − h , x 0 + h]) si x 0 + h ∈ J s et r 2 = 0 autrement. On a
r 1
2h
|I k |
2
|I k | − |J k |
=
|I k |
1 − |I k |
et
r 2
2h vérifie aussi une majoration semblable. De plus,
|J n |
2h
|J n |
|I n |
=
|I n |
2
|I n |
|I n |
2
|I n |
=
|I n | .
Il s’ensuit que x 0 est un point de continuité approximative de f . Il suffit alors
de faire appel aux résultats de II.4.22 et II.4.29.
II.4.32. On note d’abord que G est une fonction croissante sur R,
lim
t→−∞
G(t) = 0 et lim
t→+∞
G(t) = b − a. Pour n ∈ N ∗ choisi arbitrairement
et k ∈ Z, on pose
I k =
k − 1
n
,
k
n
et A k =
x ∈ [a , b] :
k − 1
n
f (x) <
k
n
.
On a alors G
k
n
− G
k−1
n
= m(A k ),
k − 1
n
m(A k )
A k
f dm
k
n
m(A k )
et
k − 1
n
G
k
n
− G
k − 1
n
k/n
(k−1)/n
t d(G(t))
k
n
G
k
n
− G
k − 1
n
.
Donc,
A k
f dm −
k/n
(k−1)/n
t d(G(t))
1
n
G
k
n
− G
k − 1
n
.
Puisque
+∞
k=1
1
n
G
k
n
− G
k − 1
n
=
1
n
(b − a − G(0))
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