Solutions
1
n < ε. Si |x − x 0 | <
hn
n−1 et x ∈ A, il découle alors de la construction
de A que x /
∈ A m pour m < n. Donc, x ∈ A k pour un certain k n et
|f (x) − f (x 0 )| <
1
k
1
n < ε.
On suppose maintenant qu’il existe un ensemble mesurable A tel que x 0
soit un point de densité de A et tel que la restriction de f à A soit continue
en x 0 . Étant donné ε > 0, il existe alors h > 0 tel que
{x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| ε} ⊂ [x 0 − h , x 0 + h] \ A.
Réciproquement,
lim
h→0
m ∗ ({x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| ε})
2h
1 − lim
h→0
m (A ∩ [x 0 − h , x 0 + h])
2h
= 0,
la dernière égalité se déduisant du fait que x 0 est un point de densité de A.
II.4.31. [C. Goffman, Amer. Math. Monthly 84(1977), 205-206]. Soit A l’ensemble de Cantor généralisé construit en I.7.12 pour α =
1
2 . G = [0 , 1] \ A
est un sous-ensemble ouvert dense de [0 , 1]. Si G =
+∞
n=1
I n , les I n étant des
intervalles ouverts deux à deux disjoints, alors m(G) =
+∞
n=1
|I n | =
1
2 . Pour
tout n, soit J n ⊂ I n un intervalle fermé à l’intérieur de I n tel que |J n | = |I n |
2 .
Pour tout n, on définit f sur J n comme étant continue, de valeurs comprises
entre 0 et 1, valant 1 au centre de J n et 0 à ses extrémités. Si x n’appartient
pas à
+∞
n=1
J n , on pose alors f (x) = 0. On montre d’abord que f n’est pas
Riemann-intégrable sur [0 , 1]. Soit 0 = x 0 < x 1 < · · · < x m = 1 une partition
de [0 , 1]. Si ]x k−1 , x k [ ∩ A = ∅, l’oscillation de f sur [x k−1 , x k ] est égale à
1. Puisque m(A) =
1
2 , la somme des longueurs des intervalles [x k−1 , x k ] sur
lesquels l’oscillation de f est égale à 1 est supérieure à
1
2 . En conséquence,
1
0
f (x) dx −
1
0
f (x) dx
1
2
.
On prouve maintenant que f est approximativement continue sur [0 , 1]. Par
définition, f est continue sur G. Soit x 0 ∈ A. On se donne 0 < ε < 1. Il est
clair que tout intervalle [x 0 − h , x 0 + h] (h > 0) contient une infinité d’intervalles I n . Si h est suffisamment petit, alors seuls des intervalles I n pour n assez
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n < ε. Si |x − x 0 | <
hn
n−1 et x ∈ A, il découle alors de la construction
de A que x /
∈ A m pour m < n. Donc, x ∈ A k pour un certain k n et
|f (x) − f (x 0 )| <
1
k
1
n < ε.
On suppose maintenant qu’il existe un ensemble mesurable A tel que x 0
soit un point de densité de A et tel que la restriction de f à A soit continue
en x 0 . Étant donné ε > 0, il existe alors h > 0 tel que
{x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| ε} ⊂ [x 0 − h , x 0 + h] \ A.
Réciproquement,
lim
h→0
m ∗ ({x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| ε})
2h
1 − lim
h→0
m (A ∩ [x 0 − h , x 0 + h])
2h
= 0,
la dernière égalité se déduisant du fait que x 0 est un point de densité de A.
II.4.31. [C. Goffman, Amer. Math. Monthly 84(1977), 205-206]. Soit A l’ensemble de Cantor généralisé construit en I.7.12 pour α =
1
2 . G = [0 , 1] \ A
est un sous-ensemble ouvert dense de [0 , 1]. Si G =
+∞
n=1
I n , les I n étant des
intervalles ouverts deux à deux disjoints, alors m(G) =
+∞
n=1
|I n | =
1
2 . Pour
tout n, soit J n ⊂ I n un intervalle fermé à l’intérieur de I n tel que |J n | = |I n |
2 .
Pour tout n, on définit f sur J n comme étant continue, de valeurs comprises
entre 0 et 1, valant 1 au centre de J n et 0 à ses extrémités. Si x n’appartient
pas à
+∞
n=1
J n , on pose alors f (x) = 0. On montre d’abord que f n’est pas
Riemann-intégrable sur [0 , 1]. Soit 0 = x 0 < x 1 < · · · < x m = 1 une partition
de [0 , 1]. Si ]x k−1 , x k [ ∩ A = ∅, l’oscillation de f sur [x k−1 , x k ] est égale à
1. Puisque m(A) =
1
2 , la somme des longueurs des intervalles [x k−1 , x k ] sur
lesquels l’oscillation de f est égale à 1 est supérieure à
1
2 . En conséquence,
1
0
f (x) dx −
1
0
f (x) dx
1
2
.
On prouve maintenant que f est approximativement continue sur [0 , 1]. Par
définition, f est continue sur G. Soit x 0 ∈ A. On se donne 0 < ε < 1. Il est
clair que tout intervalle [x 0 − h , x 0 + h] (h > 0) contient une infinité d’intervalles I n . Si h est suffisamment petit, alors seuls des intervalles I n pour n assez
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