Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
et, puisque B n ⊂ G n et B n,h ⊂ G n,h , on obtient
m
∗ (B n ) m
∗ (B n,h ) + m
∗ (B n \ [x 0 − h , x 0 + h])
m(G n,h ) + m(G n \ [x 0 − h , x 0 + h])
= m(G n ) = m
∗ (B n ).
Ceci implique
m
∗ (B n,h ) = m(G n,h )
et
m
∗ (B n \ [x 0 − h , x 0 + h]) = m(G n \ [x 0 − h , x 0 + h]).
Par définition de la continuité approximative,
lim
h→0
m ∗ (B n ∩ [x 0 − h , x 0 + h])
2h
= 0
et il existe donc h n tel que
m ∗ (B n ∩ [x 0 − h , x 0 + h])
2h
1
n
pour 0 < h h n . Si maintenant C n = [a , b] \ B n , alors C n ⊃ [a , b] \ G n = H n
et m ∗ (C n ) m(H n ) = b − a − m(G n ). De plus, pour 0 < h h n , on a
m ∗ (C n ∩ [x 0 − h , x 0 + h])
2h
m(H n,h )
2h
2h − m(G n,h )
2h
1 −
1
n
,
où H n,h = H n ∩ [x 0 − h , x 0 + h]. On remarque encore que l’on peut choisir h n
de sorte que h n+1 < h n et lim
n→+∞
h n = 0. On définit alors
A n = H n,hn \
x 0 −
h n+1
n
, x 0 +
h n+1
n
et on pose
A =
+∞
n=3
A n ∪ {x 0 }.
Il découle de ce qui précède que, pour h n+1 < h h n , on a
m(A ∩ [x 0 − h , x 0 + h])
2h
m(A n ∩ [x 0 − h , x 0 + h])
2h
=
m(H n,h ) − 2
h n+1
n
2h
1 −
1
n
−
h n+1
nh
> 1 −
2
n
,
ce qui montre que x 0 est un point de densité de A. On prouve maintenant
que f |A est continue en x 0 . Étant donné ε > 0, il existe n ∈ N ∗ tel que
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