Solutions
Puisque
2
n
1/2 n
0
|f (x) − f (0)| dx = 2
n
1/2 n
0
f (x) dx
= 2
n
+∞
k=n
2
k
1
2 2k+1 = 1,
0 n’est donc pas un point de Lebesgue de f .
II.4.29. En considérant le résultat du problème précédent, il suffit de montrer que si f est bornée et mesurable sur [a , b], alors tout point de continuité
approximative de f est un point de Lebesgue de f . Si x ∈ ]a , b[ est un point
de continuité approximative de f et |f (t)| M , a t b, étant donné ε > 0,
on a
1
h
x+h
x
|f (t) − f (x)| dt =
1
h
[x,x+h]∩{t:|f (t)−f (x)|ε}
|f (t) − f (x)| dt
+
1
h
[x,x+h]∩{t:|f (t)−f (x)|<ε}
|f (t) − f (x)| dt
2M
m ([x, x + h] ∩ {t : |f (t) − f (x)| ε})
h
+ ε.
Un passage à la limite lorsque h tend vers 0 donne
lim
h→0
1
h
x+h
x
|f (t) − f (x)| dt ε
et ε > 0 pouvant être choisi arbitrairement petit, le résultat demandé s’ensuit.
II.4.30. On suppose d’abord que x 0 ∈ ]a , b[ est un point de continuité approximative de f au sens de la définition donnée en II.4.27. Pour n ∈ N ∗ , on
définit
B n =
x ∈ [a , b] : |f (x) − f (x 0 )|
1
n
et, pour h strictement positif, on pose
B n,h = B n ∩ [x 0 − h , x 0 + h].
On sait de II.1.11 qu’il existe un G δ -ensemble G n tel que B n ⊂ G n et
m ∗ (B n ) = m(G n ). Si G n,h = G n ∩ [x 0 − h , x 0 + h], alors G n,h est un ensemble mesurable contenant B n,h et m ∗ (B n,h ) = m(G n,h ). En effet, on a
G n = G n,h ∪ (G n \ [x 0 − h , x 0 + h]),
B n = B n,h ∪ (B n \ [x 0 − h , x 0 + h])
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