Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
ce qui signifie que x 0 est un point de dispersion extérieure de A c . Presque tous
les points de A étant des points de continuité approximative de f , on a donc
prouvé que la condition est suffisante.
On notera ici qu’une fonction bornée sur [a , b] est Riemann-intégrable
si et seulement si elle est presque partout continue (voir II.1.55). Le résultat ci-dessus montre qu’une fonction bornée sur [a , b] est mesurable et donc
Lebesgue-intégrable si et seulement si elle est p.p. approximativement continue.
II.4.28. On suppose que x 0 est un point de Lebesgue de f . Pour tout ε > 0,
on a
m ({x ∈ [x 0 , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| ε})
h
1
ε
·
1
h
x 0 +h
x 0
|f (x) − f (x 0 )| dx.
On déduit de la définition d’un point de Lebesgue que
lim
h→0 +
m ({x ∈ [x 0 , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| ε})
h
= 0,
ce qui implique que chaque point de Lebesgue d’une fonction Lebesgueintégrable est un point où elle est approximativement continue.
Pour prouver que la réciproque est fausse, on considère la fonction définie
sur [−1 , 1] par
f (x) =
2 n si
1
2 n −
1
2 2n+1 < x
1
2 n , n ∈ N,
0
sinon.
On montre d’abord que f est intégrable sur [−1 , 1]. On a
1
−1
f (x) dx =
+∞
n=0
2
n
1
2 2n+1 = 1.
On observe maintenant que 0 est un point de continuité approximative de f .
Si
1
2 n+1 < h
1
2 n , pour 0 < ε < 1, on a
m ([−h , h] ∩ {x : f (x) > ε})
2h
m
−
1
2 n ,
1
2 n
∩ {x : f (x) > ε}
2
2 n+1
=
1
2 2n+1 +
1
2 2(n+1)+1 + · · ·
1
2 n
=
1
3 × 2 n−1 − −−−− →
n→+∞
0.
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