Solutions
et la première proposition se déduit du résultat donné au problème précédent.
Pour prouver la seconde proposition, on remarque que si A est mesurable,
il en est alors de même de A c et presque tous les points de A c sont donc
des points de densité de cet ensemble, d’où des points de dispersion de A.
Pour démontrer l’implication réciproque, supposons que A ne soit pas mesurable. D’après II.1.11, il existe pour A un recouvrement mesurable E tel que
m ∗ (A) = m(E). Puisque E est mesurable, presque tous les points de E\A sont
des points de densité de E et, d’après ce qui précède, ce sont aussi des points
de densité extérieure de A. Puisque A n’est pas mesurable, m ∗ (E \ A) > 0.
Ceci implique que l’ensemble des points de A c qui ne sont pas des points de
dispersion extérieure de A est un ensemble de mesure extérieure strictement
positive.
II.4.27. On suppose que f est mesurable sur [a , b]. Le théorème de Lusin
(voir II.2.27) implique que, étant donné ε > 0, il existe un ensemble fermé
F ⊂ [a , b] tel que m([a , b] \ F) < ε et f |F est continue. D’après le problème
précédent, presque tous les points de F sont des points de dispersion de F c .
Donc si x 0 ∈ F est un point de dispersion de F c , on a alors, pour tout ε 1 > 0,
{x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| ε 1 } ⊂ [x 0 − h , x 0 + h] ∩ F
c
pour h > 0 suffisamment petit, ce qui prouve que l’ensemble sur lequel f n’est
pas approximativement continue est de mesure plus petite que ε. Puisque l’on
peut choisir arbitrairement ε > 0, on a donc prouvé que la condition est nécessaire. On suppose maintenant que f est approximativement continue p.p.
sur [a , b]. Soit c un réel. On montre que l’ensemble A = {x ∈ [a , b] : f (x) > c}
est mesurable. D’après II.4.26, il suffit de prouver que presque tous les points
de A c sont des points de dispersion extérieure de A. Soit x 0 ∈ A un point de
continuité approximative de f . On prend ε = f (x 0 ) − c > 0. On a alors
m ∗ ({x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| ε})
2h
m ∗ ({x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : f (x) c})
2h
=
m ∗ ([x 0 − h , x 0 + h] ∩ A c )
2h
et la définition de la continuité approximative implique
lim
h→0
m ∗ ([x 0 − h , x 0 + h] ∩ A c )
2h
= 0,
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et la première proposition se déduit du résultat donné au problème précédent.
Pour prouver la seconde proposition, on remarque que si A est mesurable,
il en est alors de même de A c et presque tous les points de A c sont donc
des points de densité de cet ensemble, d’où des points de dispersion de A.
Pour démontrer l’implication réciproque, supposons que A ne soit pas mesurable. D’après II.1.11, il existe pour A un recouvrement mesurable E tel que
m ∗ (A) = m(E). Puisque E est mesurable, presque tous les points de E\A sont
des points de densité de E et, d’après ce qui précède, ce sont aussi des points
de densité extérieure de A. Puisque A n’est pas mesurable, m ∗ (E \ A) > 0.
Ceci implique que l’ensemble des points de A c qui ne sont pas des points de
dispersion extérieure de A est un ensemble de mesure extérieure strictement
positive.
II.4.27. On suppose que f est mesurable sur [a , b]. Le théorème de Lusin
(voir II.2.27) implique que, étant donné ε > 0, il existe un ensemble fermé
F ⊂ [a , b] tel que m([a , b] \ F) < ε et f |F est continue. D’après le problème
précédent, presque tous les points de F sont des points de dispersion de F c .
Donc si x 0 ∈ F est un point de dispersion de F c , on a alors, pour tout ε 1 > 0,
{x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| ε 1 } ⊂ [x 0 − h , x 0 + h] ∩ F
c
pour h > 0 suffisamment petit, ce qui prouve que l’ensemble sur lequel f n’est
pas approximativement continue est de mesure plus petite que ε. Puisque l’on
peut choisir arbitrairement ε > 0, on a donc prouvé que la condition est nécessaire. On suppose maintenant que f est approximativement continue p.p.
sur [a , b]. Soit c un réel. On montre que l’ensemble A = {x ∈ [a , b] : f (x) > c}
est mesurable. D’après II.4.26, il suffit de prouver que presque tous les points
de A c sont des points de dispersion extérieure de A. Soit x 0 ∈ A un point de
continuité approximative de f . On prend ε = f (x 0 ) − c > 0. On a alors
m ∗ ({x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : |f (x) − f (x 0 )| ε})
2h
m ∗ ({x ∈ [x 0 − h , x 0 + h] : f (x) c})
2h
=
m ∗ ([x 0 − h , x 0 + h] ∩ A c )
2h
et la définition de la continuité approximative implique
lim
h→0
m ∗ ([x 0 − h , x 0 + h] ∩ A c )
2h
= 0,
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