Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
pour presque tout x ∈ [a , b]. Notons E(r) l’ensemble des points de [a , b] où
l’égalité précédente n’est pas vérifiée, on a m(E(r)) = 0. Si {r n } est une énumération de tous les rationnels, l’ensemble
E =
+∞
n=1
E(r n ) ∪ {x ∈ [a , b] : f (x) = ±∞}
est de mesure nulle. Notre but est de prouver que tout point de [a , b] \ E est
un point de Lebesgue de f . Soit x 0 ∈ [a , b] \ E et ε > 0. Il existe alors r n tel
que |f (x 0 ) − r n | <
ε
3 et
1
h
x 0 +h
x 0
|f (t) − r n | dt −
1
h
x 0 +h
x 0
|f (t) − f (x 0 )| dt
<
ε
3
.
Puisque x 0 /
∈ E, il existe δ > 0 tel que
1
h
x 0 +h
x 0
|f (t) − r n | dt − |f (x 0 ) − r n |
<
ε
3
si |h| < δ, ce qui implique
1
h
x 0 +h
x 0
|f (t) − r n | dt <
2
3
ε.
On a alors, pour |h| < δ,
1
h
x 0 +h
x 0
|f (t) − f (x 0 )| dt < ε.
II.4.25. On peut supposer, sans perte de généralité, que A est borné, par
exemple A ⊂ [α , β]. On pose a = α − 1 et b = β + 1. Alors, F (x) =
x
a χ A (t) dt
vérifie F (x) = χ A (x) pour presque tout x ∈ [a , b]. En particulier, F (x) = 1
presque partout sur A. Si x est tel que F (x) = 1, alors
1 = F
(x) = lim
h→0
F (x + h) − F (x − h)
2h
= lim
h→0
1
2h
x+h
x−h
χ A (t) dt
= lim
h→0
m
A ∩ [x − h , x + h]
2h
.
II.4.26. On sait par II.1.11 qu’il existe un G δ -ensemble E tel que A ⊂ E et
m(E) = m ∗ (A). On peut supposer que m ∗ (A) < +∞ sans perte de généralité.
Donc, pour tout intervalle I,
m(E ∩ I) = m(E) − m(E \ I) = m
∗ (A) − m(E \ I)
m
∗ (A) − m
∗ (A \ I) m
∗ (A ∩ I)
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