Solutions
II.4.21. Si p > 1 et
1
p +
1
p = 1, on a alors, avec l’inégalité de Hölder
(voir I.6.27),
f h − f
p
p =
b
a
1
2h
x+h
x−h
f (t) dt −
1
2h
x+h
x−h
f (x) dt
p
dx
1
(2h)
p
b
a
x+h
x−h
|f (t) − f (x)| dt
p
dx
1
(2h)
p
b
a
x+h
x−h
|f (t) − f (x)|
p dt
(2h)
p/p dx
=
1
2h
b
a
x+h
x−h
|f (t) − f (x)|
p dt
dx
=
1
2h
h
−h
b
a
|f (t + x) − f (x)|
p dx
dt,
la dernière égalité se déduisant de la formule de changement de variable et
du théorème de Fubini. Il est clair que l’inégalité obtenue est aussi vérifiée
pour p = 1. Donc, d’après II.3.39, étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que
b
a |f (t + x) − f (x)|
p dx < ε pour |t| < δ. En conséquence, si 0 < h < δ, alors
f h − f
p
p < ε.
La fonction f h étant continue sur [a , b], on notera ici qu’elle réalise l’approximation énoncée en II.3.37.
II.4.22. On a
F (x + h) − F (x)
h
− f (x)
=
1
h
x+h
x
(f (t) − f (x)) dt
1
h
x+h
x
|f (t) − f (x)| dt,
ce qui donne F (x) = f (x).
II.4.23. Si f est continue en x, étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que
|f (t) − f (x)| < ε si |t − x| < δ. Donc, pour |h| < δ,
1
h
x+h
x
|f (t) − f (x)| dt < ε.
II.4.24. Si r est un nombre rationnel, la fonction t → |f (t) − r| est intégrable
sur [a , b] et, d’après le théorème 2,
lim
h→0
1
h
x+h
x
|f (t) − r| dt = |f (x) − r|
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