Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
la continuité de f h découle du théorème 2. Pour p > 1 et
1
p +
1
p = 1, d’après
l’inégalité de Hölder (voir I.6.27), on a
|f h (x)|
p
1
(2h)
p
x+h
x−h
1 dt
p
p x+h
x−h
|f (t)|
p dt =
1
2h
x+h
x−h
|f (t)|
p dt.
Clairement, pour p = 1, on a
|f h (x)|
1
2h
x+h
x−h
|f (t)| dt.
Donc, en utilisant le théorème de Fubini et la formule de changement de variable, on obtient
b
a
|f h (x)|
p dx
1
2h
b
a
x+h
x−h
|f (t)|
p dt
dx
=
1
2h
b
a
h
−h
|f (t + x)|
p dt
dx
=
1
2h
h
−h
b
a
|f (t + x)|
p dx
dt
=
1
2h
h
−h
b+t
a+t
|f (u)|
p du
dt
1
2h
h
−h
b
a
|f (u)|
p du
dt =
b
a
|f (u)|
p du,
la dernière inégalité se déduisant du fait que f s’annule en dehors de [a , b].
L’inégalité f h p f p est donc prouvée.
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