Solutions
II.4.18. On considère d’abord une fonction f définie sur R de la forme
f (x) =
x
−∞ ϕ(t) dt, où ϕ est une certaine fonction intégrable sur R. La continuité absolue de f sur [−K , K] découle alors de la continuité absolue de l’intégrale de Lebesgue (voir II.3.4). De plus, on sait de II.4.11 que
V (f ; −K, K) =
K
−K
|ϕ(x)| dx
R
|ϕ| dm,
ce qui implique V (f ; −∞, ∞) < +∞. Soit {x n } une suite tendant vers −∞.
La suite ϕ · χ ]−∞,xn] converge alors vers zéro sur R et, d’après le théorème de
convergence de dominée de Lebesgue (voir II.3, th. 3),
lim
n→+∞
f (x n ) =
R
ϕ · χ ]−∞,xn] dm = 0.
Réciproquement, si f est absolument continue sur [−K , K], alors, d’après le
théorème 2,
f (x) = f (−K) +
x
−K
f
(t) dt
et, en faisant tendre K vers +∞, on obtient
f (x) = lim
K→+∞
x
−K
f
(t) dt.
On a de plus
+∞
−∞
f
(t)
dt = lim
n→+∞
n
−n
f
(t)
dt
= lim
n→+∞
V (f ; −n, n) = V (f ; −∞, +∞) < +∞,
la seconde égalité se déduisant de II.4.11.
II.4.19. Dans la formule d’intégration par parties donnée en II.4.15, on
prend les limites lorsque a tend vers −∞ et b tend vers +∞ et on applique le
résultat du problème précédent.
II.4.20. On remarque d’abord que f h est bien définie car L p [a , b] ⊂ L 1 [a , b]
(voir II.3.35). Puisque
f h (x) =
1
2h
(F (x + h) − F (x − h)) où F (x) =
x
a−h
f (t) dt,
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