Solutions
Il s’ensuit que
b
a
|f (t)| dt <
n
k=1
(F (β k ) − F (α k )) −
m
k=1
(F (τ k ) − F (σ k )) + 6ε,
ce qui implique
b
a
|f (t)| dt <
n
k=1
|F (β k ) − F (α k )| +
m
k=1
|F (τ k ) − F (σ k )| + 6ε.
Puisque les intervalles deux à deux disjoints ]α k , β k [ sont disjoints des intervalles deux à deux disjoints ]σ i , τ i [, on voit que
n
k=1
|F (β k ) − F (α k )| +
m
k=1
|F (τ k ) − F (σ k )| V (F ; a, b),
d’où
b
a
|f (t)| dt < V (F ; a, b) + 6ε.
II.4.12.
(a) On pose A = g(E). On sait, d’après II.4.6, que A est un sous-ensemble
mesurable de [c , d]. Si A est ouvert, alors A =
∞
n=1
]α n , β n [, où les
]α n , β n [ sont deux à deux disjoints et α n = g(x n ), β n = g(y n ). On
obtient, en utilisant le théorème 2,
m(A) =
∞
n=1
(β n − α n ) =
∞
n=1
(g(y n ) − g(x n ))
=
∞
n=1
yn
xn
g
(x) dx =
E
g
(x) dx.
Si A est fermé, ]c , d[ \ A est alors ouvert et, d’après ce que l’on vient de
prouver et le théorème 2, on voit que l’égalité proposée est aussi vérifiée dans ce cas. Puisque A est mesurable, étant donné ε > 0, il existe
un ensemble ouvert G et un ensemble fermé F tels que F ⊂ A ⊂ G,
m(G) < m(A) + ε et m(F) > m(A) − ε. Puisque g 0, on a
g −1 (F)
g
dm
E
g
dm
g −1 (G)
g
dm,
ce qui implique
m(A) − ε < m(F)
E
g
dm m(G) < m(A) + ε.
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