Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
Pour prouver l’inégalité opposée, on définit
P = {x ∈ ]a , b[ : f (x) 0} et N = {x ∈ ]a , b[ : f (x) < 0} .
On a alors
b
a
|f (t)| dt =
P
f (t) dt −
N
f (t) dt.
Par continuité absolue de l’intégrale de Lebesgue (voir II.3.4), étant donné
ε > 0, il existe δ > 0 tel que
E |f (t)| dt < ε si E ⊂ [a , b] et m(E) < δ. Puisque
P et N sont des ensembles mesurables, il existe des ensembles fermés F P ⊂ P
et F N ⊂ N tels que m(P \ F P ) < δ et m(N \ F N ) < δ. Donc,
b
a
|f (t)| dt <
F P
f (t) dt −
F N
f (t) dt + 2ε.
Les ensembles F P et F N étant fermés et disjoints, il existe des sous-ensembles
ouverts de ]a , b[, notons-les G P et G N , contenant respectivement F P et F N
tels que m(G P \ F P ) < δ et m(G N \ F N ) < δ. On a donc
b
a
|f (t)| dt <
G P
f (t) dt −
G N
f (t) dt + 4ε.
On sait que tout ensemble ouvert est l’union dénombrable d’intervalles ouverts
deux à deux disjoints. Il existe donc une union finie
n
k=1
]α k , β k [ = G n telle
que m(G P \ G n ) < δ. D’où,
G P
f (t) dt −
Gn
f (t) dt < ε.
Puisque
Gn
f (t) dt =
n
k=1
β k
α k
f (t) dt =
n
k=1
(F (β k ) − F (α k )),
on obtient
G P
f (t) dt <
n
k=1
(F (β k ) − F (α k )) + ε.
De même, si G N =
+∞
k=1
]σ k , τ k [, où les ]σ k , τ k [ sont deux à deux disjoints, il
existe m tel que
G N
f (t) dt >
m
k=1
(F (τ k ) − F (σ k )) − ε.
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