Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
(b) On peut supposer, sans perte de généralité, que A ⊂ ]c , d[. Puisque
m(A) = 0, il existe une suite d’ensembles ouverts G n telle que
A ⊂ G n+1 ⊂ G n ⊂ ]c , d[
(n ∈ N
∗ )
et lim
n→+∞
m(G n ) = 0. On pose Ü
A =
+∞
n=1
G n . On a alors A ⊂ Ü
A, m( Ü
A) = 0
et g −1 ( Ü
A) =
+∞
n=1
g −1 (G n ) est mesurable. D’après (a),
0 = m( Ü
A) =
g −1 ( e
A)
g
dm =
g −1 ( e
A)∩H
g
dm.
Donc m(g −1
Ü
A) ∩ H
= 0 et la proposition suit car g −1 (A) ⊂ g −1 ( Ü
A).
(c) D’après II.1.12, il existe un G δ -ensemble U et un ensemble A de mesure
nulle tels que B = U ∪ A. On a alors g −1 (B) = g −1 (U) ∪ g −1 (A) et
g −1 (U) est aussi un G δ -ensemble car g est continue et strictement croissante. Il découle de (b) que m
g −1 (A) ∩ H
= 0. Donc, g −1 (B) ∩ H est
mesurable. De plus,
C
g
dm =
g −1 (U)∩H
g
dm =
g −1 (U)
g
dm = m(U) = m(B),
la troisième égalité se déduisant de (a). On a aussi
C
g
dm =
g −1 (B)∩H
g
dm =
b
a
χ g −1 (B)∩H (x)g
(x) dx
=
b
a
χ B (g(x))g
(x) dx.
II.4.13. On suppose d’abord que f est une fonction simple sur [c , d], autrement dit, que f (x) =
n
i=1
c i χ A i (x), où [c , d] =
n
i=1
A i . D’après II.4.12(c),
on a
d
c
f (t) dt =
n
i=1
c i m(A i ) =
n
i=1
c i
b
a
χ A i (g(x))g
(x) dx
=
b
a
χ B f (g(x))g
(x) dx.
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