Solutions
II.4.6.
(a) Soit A ⊂ [a , b] un ensemble de mesure nulle. On peut supposer, sans
perte de généralité, que A ⊂ ]a , b[. Soit ε > 0. Par continuité absolue
de f , il existe δ > 0 tel que
n
k=1
f (x k ) − f (x
k )
< ε
pour toute collection finie {]x k , x
k [} d’intervalles ouverts deux à deux
disjoints de [a , b] vérifiant
n
k=1
(x
k − x k ) < δ. Puisque m(A) = 0, il existe
un ensemble ouvert G tel que A ⊂ G ⊂ ]a , b[ et m(G) < δ. On sait que
G est l’union dénombrable d’intervalles ouverts deux à deux disjoints
]α i , β i [. On a donc
+∞
i=1
(β i − α i ) < δ. Pour un entier strictement positif i, soit x i < x
i des points de [α i , β i ] où f atteint ses valeurs maximale
et minimale. L’application f envoie alors l’intervalle [α i , β i ] sur l’intervalle fermé d’extrémités f (x i ) et f (x
i ). Clairement,
n
k=1
(x
k − x k ) < δ
pour tout n ∈ N ∗ . En conséquence,
n
k=1
|f (x k ) − f (x
k )| < ε. On voit, en
faisant tendre n vers +∞, que
+∞
k=1
|f (x k ) − f (x
k )| ε. D’autre part,
f (A) ⊂ f (G) =
+∞
i=1
f (]α i , β i [) ⊂
+∞
i=1
f ([α i , β i ]) .
Il existe donc un recouvrement dénombrable de f (A) par des intervalles
fermés dont la mesure totale est inférieure à ε.
(b) Il s’agit d’une conséquence immédiate de II.2.15.
II.4.7. Non. La fonction de Cantor ϕ définie en II.2.11 envoie l’ensemble de
Cantor (qui est de mesure nulle) sur [0 , 1]. Vu le résultat du précédent problème, ϕ n’est pas absolument continue bien qu’elle soit continue et croissante.
II.4.8. On suit la démonstration présentée dans [23]. Pour n ∈ N ∗ , on pose
I k,n = ]a + k(b − a)2 −n , a + (k + 1)(b − a)2 −n [ (k = 0, 1, . . . , 2 n − 1) et on
définit
v n (y) =
2 n −1
k=0
χ B k,n (y)
299
II.4.6.
(a) Soit A ⊂ [a , b] un ensemble de mesure nulle. On peut supposer, sans
perte de généralité, que A ⊂ ]a , b[. Soit ε > 0. Par continuité absolue
de f , il existe δ > 0 tel que
n
k=1
f (x k ) − f (x
k )
< ε
pour toute collection finie {]x k , x
k [} d’intervalles ouverts deux à deux
disjoints de [a , b] vérifiant
n
k=1
(x
k − x k ) < δ. Puisque m(A) = 0, il existe
un ensemble ouvert G tel que A ⊂ G ⊂ ]a , b[ et m(G) < δ. On sait que
G est l’union dénombrable d’intervalles ouverts deux à deux disjoints
]α i , β i [. On a donc
+∞
i=1
(β i − α i ) < δ. Pour un entier strictement positif i, soit x i < x
i des points de [α i , β i ] où f atteint ses valeurs maximale
et minimale. L’application f envoie alors l’intervalle [α i , β i ] sur l’intervalle fermé d’extrémités f (x i ) et f (x
i ). Clairement,
n
k=1
(x
k − x k ) < δ
pour tout n ∈ N ∗ . En conséquence,
n
k=1
|f (x k ) − f (x
k )| < ε. On voit, en
faisant tendre n vers +∞, que
+∞
k=1
|f (x k ) − f (x
k )| ε. D’autre part,
f (A) ⊂ f (G) =
+∞
i=1
f (]α i , β i [) ⊂
+∞
i=1
f ([α i , β i ]) .
Il existe donc un recouvrement dénombrable de f (A) par des intervalles
fermés dont la mesure totale est inférieure à ε.
(b) Il s’agit d’une conséquence immédiate de II.2.15.
II.4.7. Non. La fonction de Cantor ϕ définie en II.2.11 envoie l’ensemble de
Cantor (qui est de mesure nulle) sur [0 , 1]. Vu le résultat du précédent problème, ϕ n’est pas absolument continue bien qu’elle soit continue et croissante.
II.4.8. On suit la démonstration présentée dans [23]. Pour n ∈ N ∗ , on pose
I k,n = ]a + k(b − a)2 −n , a + (k + 1)(b − a)2 −n [ (k = 0, 1, . . . , 2 n − 1) et on
définit
v n (y) =
2 n −1
k=0
χ B k,n (y)
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