Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.4.4. On remarque que la fonction
f
∗ (x) =
⎧
⎨
⎩
x 2 sin(1/x) si x ∈ ]0 , 1],
0
si x = 0
a une dérivée bornée sur [0 , 1]. La fonction f ∗ vérifie alors une condition de
Lipschitz et elle est donc absolument continue. La fonction f = |f ∗ | est aussi
absolument continue sur [0 , 1]. De plus, puisque g(x) =
√
x =
1
2
x
0
dt
√
t
et
t →
1
√
t
est intégrable sur [0 , 1] (on peut prolonger cette fonction en choisissant n’importe quelle valeur en 0), d’après le théorème 2, g est absolument
continue. D’après II.4.3, la fonction
h(x) =
⎧
⎨
⎩
x sin
1
√
x
si x ∈ ]0 , 1],
0
si x = 0
est absolument continue sur [0 , 1] et en est de même de f (g(x)) = |h(x)|.
D’autre part, x → g(f (x)), comme fonction à variation non bornée, n’est pas
absolument continue.
II.4.5. Étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que
n
k=1
f (x k ) − f (x
k )
< ε
pour toute collection finie {]x k , x
k [} d’intervalles ouverts deux à deux disjoints
de [a , b] vérifiant
n
k=1
(x
k − x k ) < δ.
Supposons, par exemple, que g est croissante. Elle est absolument continue et
il existe δ 1 > 0 tel que
m
k=1
(t
k − t k ) < δ 1 implique
m
k=1
(g(t
k ) − g(t k )) < δ. Il
s’ensuit que
m
k=1
f (g(t k )) − f (g(t
k ))
< ε.
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